Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow1-m\ge0\Leftrightarrow m\le1\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\) (1)

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2_1+x^2_2}{x^2_1x^2_2}=1\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=1\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4-2m=m^2\Leftrightarrow m^2+2m-4=0\)

\(\Delta'=1+4=5\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{5}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{5}\left(\text{loại}\right)\\m=-1-\sqrt{5}\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-1-\sqrt{5}\)

a: Khi m = -4 thì:

\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)

Pt có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)

b: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)

Theo viet:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\)

Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}33-4m>0\\5>0\left(TM\right)\\m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\x>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2< m< \dfrac{33}{4}\)

Vậy \(2< m< \dfrac{33}{4}\) thì pt có 2 nghiệm dương phân biệt.

Theo đầu bài: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x_1x_2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)-2\sqrt{m-2}-5=0\)

Đặt \(\sqrt{m-2}=t\Rightarrow m-2=t^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2t-5=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2+\left(-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(9t+10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-2=0\\9t+10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TM\right)\\t=-\dfrac{10}{9}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Trả ẩn:

\(\sqrt{m-2}=2\)

\(\Rightarrow m-2=4\)

\(\Rightarrow m=6\)

Vậy m = 6 thì x₁ , x₂ thoả mãn hệ thức \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

xem tr sách của anh

Bài 1:

PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot2\ge0\Leftrightarrow m^2+4m-8\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2-2\sqrt{3}\\m\ge-2+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=9x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=18\\ \Leftrightarrow2\left(m+2\right)^2-8=18\\ \Leftrightarrow2m^2+8m+8-8=18\\ \Leftrightarrow m^2+4m-9=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2+\sqrt{13}\\m=-2-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

PT có 2 nghiệm `<=> \Delta' >0 <=> 2^2-1.(m+1)>0<=> m<3`

Viet: `x_1+x_2=-4`

`x_1 x_2=m+1`

`(x_1)/(x_2)+(x_2)/(x_1)=10/3`

`<=> (x_1^2+x_2^2)/(x_1x_2)=10/3`

`<=> ((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)/(x_1x_2)=10/3`

`<=> (4^2-2(m+1))/(m+1)=10/3`

`<=> m=2` (TM)

Vậy `m=2`.

Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.\left(-3\right)=4\left(m-1\right)^2+12>0\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-3\ne0\forall m\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=\left(m-1\right)x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(m-1\right).\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3-3\left(-3\right).2\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+9\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)(do \(8\left(m-1\right)^2+9>0\) với mọi m)

Vậy m=1

Vì \(ac< 0\) \(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Rightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)\left(4m^2-8m+13\right)}{9}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow...\)  

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: $\Delta=25-4(m-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{4}$

Áp dụng hệ thức Viet, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=-5$

$x_1x_2=m-2$

Khi đó:

$\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2$

$\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow \frac{-5-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m-2+5+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-15}{2}$ (tm)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: $\Delta=25-4(m-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{4}$

Áp dụng hệ thức Viet, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=-5$

$x_1x_2=m-2$

Khi đó:

$\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2$

$\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow \frac{-5-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m-2+5+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-15}{2}$ (tm)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\)

\(=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m+1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m-4\)

\(=4m^2-12m\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\text{Δ}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)

Khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\), Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\cdot\left(m+1\right)}{m+1}=4\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-2=4\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-14m-2=0\)

Đến đây bạn tự làm nhé, chỉ cần tìm m và đối chiều với điều kiện thôi

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m^2-3m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m(m-3)\ge 0\)

\(\leftrightarrow \begin{cases}m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\)

\(\leftrightarrow m\ge 3\quad or\quad m\le 0\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=m+1\end{cases}\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{[2(m-1)]^2-2.(m+1)}{m+1}=4\)

\(\leftrightarrow 4m^2-8m+4-2m-2=4(m+1)\)

\(\leftrightarrow 4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\leftrightarrow 4m^2-14m-2=0\)

\(\leftrightarrow 2m^2-7m-1=0 (*)\)

\(\Delta_{*}=(-7)^2-4.2.(-1)=49+8=57>0\)

\(\to\) Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}(TM)\)

\(m_2=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}(TM)\)

Vậy \(m=\dfrac{7\pm \sqrt{57}}{2}\) thỏa mãn hệ thức

Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

Dấu = xảy ra khi m=-1